Nerelativistické řešení

Použité proměnné budou

• $ x $ pro ujetou vzdálenost
• $ v $ pro rychlost
• $ a $ pro zrychlení ( $ 1 ~ \ mathrm {g} $ )
• $ t $ pro čas
• $ c $ pro rychlost světla.

Nebrzdění

Za předpokladu, že rychlost, kterou dosáhnete, nezáleží na tom, vezmeme rovnici

$$ x = \ frac12 at ^ 2 \. $$

Vyřešit $ t $ :

$$ t = \ sqrt {\ frac {2x} {a}} \. $$

(Negativní řešení zde zahoďme)

Zapojení do Wolfram Alpha dává nám

$$ 1,389 \ krát 10 ^ {10} ~ \ mathrm {s} \, $$ nebo něco málo přes 440 let.

Rychlost, kterou by objekt b Příjezd se vypočítá z

$$ v = a \ cdot t \ přibližně 1,362 \ krát 10 ^ {11} ~ \ frac {\ mathrm {m }} {\ mathrm {s}} \. $$

Asi 454,4násobek rychlosti světla.

Takže nemůžeme zanedbávat relativistické efekty.

Brzdění

Chcete-li na toto místo přijet přiměřenou rychlostí, musíte z poloviny dráhy zrychlit a druhou polovinu zabrzdit. Vypočítáváme $ t $ stejným způsobem jako výše a získáváme

$$ 9,822 \ krát 10 ^ 9 ~ \ mathrm {s} \, $$

nebo něco málo přes 311 let. Po té době byste šli jen napůl cesty a bylo by nutné obrátit kosmickou loď a zpomalit, což trvá znovu stejně, což vám dává celkem 622 a půl roku. Ale zastavili byste se vedle svého cíle a nestříleli kolem něj extrémními rychlostmi. Vaše maximální rychlost (v bodě obratu) by nyní byla

$$ 9,632 \ krát 10 ^ {10} ~ \ mathrm {s} \, $$

něco přes 321krát vyšší rychlost světlo.

Relativistické efekty

Cesta kamkoli blízko rychlosti světla (nebo blízko velkého zdroje gravitace, jako je černá díra) přinese obrovskou škálu relativistických efektů , takže čas a prostor nemusí být pro každého člověka stejný.

Výpočet včetně relativistických efektů je poměrně komplikovaný.

Je důležité si zde povšimnout je to, že cestující objekt a externí pozorovatel budou měřit čas odlišně.

Externí pozorovatel

Z pohledu externího pozorovatele (při pohledu ze Země, cíle nebo jiného relativně statického bodu ve vesmíru) by vám trvalo 100 000 let cestovat 100 000 let rychlostí světla (to je druh definice), ale objekt nebude cestovat rychleji než rychlostí světla:

Zapojení do rovnice z propojené odpovědi:

$$ t = \ sqrt {\ frac {x} {1 ~ \ mathrm {ly}} ^ 2 + 2 \ frac {x / 1 ~ \ mathrm {ly}} {a / \ frac {\ mathrm {ly}} {\ mathrm {y} ^ 2}}} \ cdot 1 ~ \ mathrm {y} \. $$

Řekl jsem ti, že to bude složitý. Zapojením získáme 100001 let. Nepřekvapuje: jak je uvedeno výše: cestování rychlostí světla asi 100 000 let plus trochu pro zrychlení na tuto rychlost.

Toto je varianta bez brzdění. Brzdění by však netrvalo o moc déle. Celkem asi 10 0002 let. Jeden rok zrychlení na rychlost světla a jeden rok brzdění - jednoduše řečeno.

Perspektiva pohybujícího se objektu

Z pohledu objektu je zde třeba zvážit primární efekt by byla délková kontrakce. Díky tomu se vzdálenost k cíli jeví čím dál tím menší, čím rychleji jedete. Z pohledu tohoto objektu by to tedy trvalo méně než dobu trvání vypočítanou v nerelativistickém řešení výše:

Opětovné použití jiné odpovědi jako reference:

$$ t = \ frac {c} {a} \ mathrm {acosh} \ left (\ frac {x \ cdot a} {c ^ 2} + 1 \ right ) $$

Dostaneme výsledek z

$$ 3,741 \ times10 ^ 8 ~ \ mathrm {s} \, $$

přibližně 12 let.

Opětovné brzdění získáváme 11,18 roku za každou polovinu , celkem tedy asi 22,4 roku.

Závěr

Zde jsou důležité relativistické efekty. I když by bylo zcela proveditelné, aby astronaut dokončil tuto misi ve svém životě v době, kdy se tam dostanou, každý, o kom vědí, že zemře před 100 000 lety. Tyto informace by dostali během letu. Jakákoli komunikace zaslaná po příjezdu by měla zpáteční dobu 200 000 let.

Vizualizace

Další odpověď uživatele Punintended Odkazy skvělý nástroj, který si můžete vyzkoušet a který tyto efekty vizualizuje. Nedělejte si starosti s palivovými díly. Můžete vidět, že raketa je velmi krátká (relativistická délka kontrakce) a čas postupuje různými rychlostmi pro cestujícího a pozorovatele. Při výběru méně extrémního příkladu (například $ 100 ~ \ mathrm {m} $ ) můžete vidět, jak cestující zrychluje a zpomaluje.

Vítejte na stránkách!

Pomocí tohoto nástroje:

• Doba pozorovatele: 100001 let

• Doba cesty: 22,4 let

Upravit: Čas je pevný, obviňuji google kalkulačku

Začněme tím, že předpokládáme, že nebudete zpomalovat do poloviny. Pracujte v jednotkách s $ c = 1 $ . S konstantním zrychlením $ a $ je rychlost $ \ phi = a \ tau $ správná čas $ \ tau $ po začátku odpočinku, takže $$ \ beta = \ tanh a \ tau, \, \ gamma = \ cosh a \ tau, \, dx = \ beta dt = \ beta \ gamma d \ tau = \ sinh a \ tau d \ tau, $$ kde $ x $ je ujetá vzdálenost a $ dt = \ gamma d \ tau $ je nekonečně malý čas, který se časově rozšíří na $ d \ tau $ . Po správném čase $ \ tau $ máme $$ t = \ int_0 ^ \ tau \ gamma (\ tau ^ \ prime) d \ tau ^ \ prime = \ frac {1} {a} \ sinh a \ tau, \, x = \ frac {1} {a} \ left (\ cosh a \ tau-1 \ right) = \ sqrt {t ^ 2 + \ frac {1} {a ^ 2}} - \ frac {1} {a}. $$ Nebo pokud chceme získat buď $ t $ nebo $ \ tau $ z $ x $ , $$ t = \ sqrt {\ left (x + \ frac {1} {a} \ right) ^ 2- \ frac {1} {a ^ 2}}, \, \ tau = \ frac { 1} {a} \ text {arcosh} (1 + sekera). $$ Síly $ c $ můžete snadno vrátit zpět, z chod. Například čas uplynulý na lodi po 100 kLy je $$ \ frac {c} {g} \ text {arcosh} \ left (1+ \ frac {gx} {c ^ 2} \ right), $$ které vám nechám spočítat. Samozřejmě, pokud zpomalíte zpola, musíte zdvojnásobit čas 50 kLy, čímž získáte $ \ frac {2c} {g} \ text {arcosh} \ vlevo (1+ \ frac {gx} {2c ^ 2} \ vpravo) $ .

Když $ gx \ gg 2c ^ 2 $ , druhý vzorec se blíží $ \ frac {2c} {g} \ ln \ frac {gx} {c ^ 2} $ . Ale $ c / g $ se přibližuje 0,969 $ let, zatímco $ x $ rovnající se jednomu světelnému roku $ gx / c ^ 2 $ přibližuje $ 1,03 $ span >. Jinými slovy, doba v letech, pokud zpomalíte na půli cesty, je přibližně dvojnásobkem přirozeného logaritmu počtu světelných let. Toto je vhodné pravidlo z důvodu srovnání délky zemského roku s povrchovou gravitací Země.